前面好几篇文章都在介绍强化学习（RL），以及强化学习的一些具体算法，但是强化学习中用到的最重要的理论MDP却还没提到。这篇文章就来说说MDP。

讲MDP的文章和资料非常多，理论和数学公式也能轻易找到，所以本文并不是要严谨地推导MDP，而是想让读者感性地认识MDP以及它对强化学习的重要性。本文主要的参考资料来自于David Silver 教授(DeepMind 的创始人)以及Richard S. Sutton and Andrew G. Barto的经典书籍:Reinforcement Learning: An Introduction

1. MDP需要满足的条件

RL是要通过对环境不停地试错来学习的，MDP就是用来描述RL中的环境。

• 这个环境必须是完全可观测的(Fully Observable)。几乎所有的RL问题都可以转换成MDP的环境。
• 未来只与当前的状态有关，与之前的历史没有关系。换句话说就是当前的状态一旦确定了，之前的历史就可以抛弃了，因为未来只与当前有关。

2. MP(Markov Process 马可夫过程)

注意，MDP除去决策"D"，就是MP。MP是一个随机过程。从现在状态 S到下一个状态 S' 通过P_ss' 状态转移概率矩阵(State transition probability matrix)来完成这个过程, Pss'只是概率，所以MP还是随机的。

举个栗子：

如下图，一个学生学习一门课程，有6个状态：从Class1 到 Class 3 的学习，到Pass再到去Sleep。中间可能去刷Facebook, 去Sleep或者去酒吧(Pub)喝酒。

其中，那些数字(0.9,0.1)和箭头就代表了P_ss' 的数值和状态转移的方向。P_ss' 实际上是一个矩阵，如下图：

3. 马可夫奖励过程(Markov Reward Process)

奖励R是环境的反馈，当然这个反馈是与行动A, 相关的。在还没引入行动这个概念之前，暂且认为只与状态S有关。下图是加上了奖励参数的样子：

我们的目标G_t是获得奖励，有了R，有了S，有了P_ss' 矩阵，实际上我们就能够估算出每一个S上的G_t：E(G_t|S_t = S)。

G_t 是这样定义的：

G _t的物理意义就是之后状态的所有R的总和。

γ为衰减值（0到1之间），我们在之前中已经介绍过了，就不多说了。

这个估算出来的Gt就叫做这个状态S上的Sate Value function(状态值函数): v(S)

4. Bellman 等式

v(S)很明显是一个递归的过程，也就是说知道了最终状态v(S_最终)(上面那个例子是Sleep)就可以倒推到初始状态的v(S_初始)，这个关系就是用Bellman 等式表达出来的。

在任意一个状态S如何求v(S)呢？需要用到下面这个公式

R _s是这个状态的奖励，S' 是下一个状态(下个可能的状态可能不止一个)，P _ss'就是之前提到的State transition probability matrix。

这个公式的物理意义也很简单，就是这个状态的奖励加上所有可能的下一个状态的v(S')和对应的P_ss' 的乘积之和，再乘以衰减值γ。

我们可以轻易验证4.3这个v(s) 是否正确，如下图(γ=1)

5. MDP(Markov Decision Processes马可夫决策过程)

有了前面MP的铺垫，加上D(Decision)就是MDP(马可夫决策过程了)。这个决策是要决策什么呢？就是要决策行动(Action)。

正如之前提到的，行动A的奖励R不仅跟状态S相关，而且与行动A也是相关的，还是之前学生学习课程的例子，加上行动和与行动相关的R，如图：

（注意pub 那个黑点这里变成了行动，而不是状态，主要是为了后面区分sate-value function 和 action-value function）

6. 策略(Policy)

DP是一个随机的过程，在有了策略 (policy)π之后才整个过程才有了规律，策略也是一个概率分布，体现了在给定状态下采取行动的概率。

策略是用来指导行动的，不要与描述状态间的P_ss' 混淆了。当然两者是有联系的，后面将会提到。

7. Value Function(值函数)

这是MDP最重要的的概念。前面已经提到了状态值函数(State-Value Function)v(S)(后面简称V函数)，但是没有机器人，没有策略指导机器人的行动。

有了策略π之后v_π(s)的物理意义就是，在该策略的指导下，在目前这个状态下，之后能够预期的到的的奖励是多少。

当然我们更关心策略是如何指导行动的，我们引入行动值函数(Action-Value Function) q_π(s,a) 的概念。看起来是不是很眼熟，因为我们通常又叫他q函数，参见之前的文章。

因为加入了行动，所以q函数的物理意义就是，在当前策略的指导下，在当前状态下，采取行动a之后所能预期得到的奖励是多少。

8. V函数和Q函数的关系

V函数和Q函数都是递归关系，这个通过Bellman 等式也可以证明，这里也不再赘述。

通过Q函数来求V函数：

上图，空心代表状态，实心代表行动。所有行动的策略π(a|s)与Q函数q_π()的乘积之和就能得到V函数。

同样的，所有下一个状态的V函数与对应的P_ss'乘积之和再加上采取该行动的奖励就能求得Q函数。

再次注意，P_ss'反映的是状态间的转移概率，π(a|s)是状态和行动间的策略概率

当然上面两图组合(公式的带入)就能反映该状态的V函数和下一个状态的V函数的递归关系。

倒过来组合(公式带入)就能反映该行动下的Q函数和下一个行动的Q函数的递归关系。

。

利用上面的公式我们可以轻易验证例子中pass的V函数：

注意：π(a|study)= π(a|pub) =0.5

总结

本文介绍了MDP的基本概念，然而我们了解MDP的概念是为了指导我们的行动，从而得到最优的结果。换句话说就是选择最优的策略，得到最多的奖励。再换句话说就是求最大的V函数和Q函数，这些内容将放到再做介绍。

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